行列式計算、逆行列、転置行列、行列のスカラー積、行列のｎ乗の計算をします。
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行列式 \(Aをn次正方行列とする。\)\(A_{ij}をAからi行とj列を取り除いた\) \(n-1次正方行列の行列式とすると、\) \( detA=\) \(a_{11}A_{11}-a_{12}A_{12}+...+(-1)^{n-1}a_{1n}A_{1n} \) \(=a_{11}A_{11}-a_{21}A_{21}+...\) \(+(-1)^{n-1}a_{n1}A_{n1} \) \((-1)^{i+j}A_{ij}を余因子と言い\)
\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
\[
=a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
\[
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+...
\]
\[
+(-1)^{n-1}a_{1n}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2(n-1)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{n(n-1)}
\end{vmatrix}
\]
\[
=a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
\[
-a_{21}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+...
\]
\[
+(-1)^{n-1}
a_{n1}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{(n-1)2} & a_{n3} & \ldots & a_{(n-1)n}
\end{vmatrix}
\]
\(Aを1次行列になるまで、\)\(ブレークダウンして計算\)\(（再帰的処理）しております。\) 逆行列 \(正方行列Aに対して\) \(AA^{-1}=A^{-1}A=Iが成立するとき\) \(A^{-1}をAの逆行列とする。（Iは単位行列）\)
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]
\[
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots &1
\end{pmatrix}
\]
\((AI)=\)
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{pmatrix}
\]
\(左側が単位行列となるように、\)\(下記の操作で「行基本変形」を行う。\)
\((IB)=\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \ldots & 0 & b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
0 & 1 & \ldots & 0 & b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1 & b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nn}
\end{pmatrix}
\]
\( B=A^{-1}=\)
\[
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nn}
\end{pmatrix}
となります。
\]
転置行列 \(A=a_{ij}、A^{t}=a_{ji}\)
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]
\[
A^{t}=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{i1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{i2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1j} & a_{2j} & \ldots & a_{ij}
\end{pmatrix}
\]
スカラー積
\(λA=C、c_{ij}=λa_{ij}\)
\[
λ
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{pmatrix}
=
\]
\( λA=C、c_{ij}=λa_{ij} \)
\[
\begin{pmatrix}
λa_{11} & λa_{12} & \ldots & λa_{1n} \\
λa_{21} & λa_{22} & \ldots & λa_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
λa_{n1} & λa_{n2} & \ldots & λa_{nn}
\end{pmatrix}
\]
ｎ乗 \(行列のn乗は、\)\(行列Aが正方行列の場合のみ計算が可能です。\)\(A^{n}=AAA・・・\) \(A=(a_{ij})を m \times m 行列,\) \(この行列の積（AA=C)を\) \(a_{ij}\times a_{ij}=c_{ij}を、\)
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{m} a_{ik}a_{kj} とする。\]
\[
AA=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{ij} & \ldots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mm}
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1m}\\
a_{21} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{2m}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mm}
\end{pmatrix}
=
\]
\[
\begin{pmatrix}
c_{11} & \ldots & c_{1j} & \ldots & c_{1m}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
c_{i1} & \ldots & c_{ij} & \ldots & c_{im}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
c_{m1} & \ldots & c_{mj} & \ldots & c_{mm}
\end{pmatrix}
\]
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{m} a_{ik}a_{kj} \]
\(= a_{i1}a_{1j}+a_{i2}a_{2j}+\cdots+a_{im}a_{mj} \)
\(になります。\) |