待ち行列(M/M/m)

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客の到着数、サービス時間により、待ち時間のシュミュレーションが簡単に出来ます。


設定

サーバ数

トランザクション数(λ) から まで、 計算のきざみ

平均サービス率(μ) 平均サービス時間(Ts)
どちらか指定する、両方指定した場合は(μ)で計算する。

計算値
計算の条件(M/M/m)モデル

M/M/mモデル

  • 「サービスが提供される窓口」はm個である。
  • 窓口でサービスを同時に受けることができるのはm人に限られる。
  • 「サービスを受けるために順番待ちをする客の列」は1つである。
  • 客はいったん待ち行列に加わったら、自分の番が来るまで待ち続ける。
  • 客の到着の仕方がポアソン分布にしたがう。
  • サービス時間の分布が指数分布にしたがう。

ポアソン分布(ポアソン到着)

  • 定常性・・・同じ幅をもった時間区間あたりの到着の仕方は、時刻に依存しない。
  • 独立性・・・共通部分のない時間区間たちのそれぞれの到着の仕方は独立である。
  • 希少性・・・同時刻に2人の客がやって来ることはない。
指数分布(指数サービス)
  • 進行中のサービスが終了する確率は、それまでサービスに要した時間に依存しない(マルコフ性と呼ばれます)。
  • ある時刻に開始されるサービスは、それ以前に行なわれたサービスや到着に依存しない。
計算式
  • サービス窓口数=m個
  • トランザクション数又は平均到着率λ=単位時間に到着する客数の平均値
  • 平均サービス率μ=単位時間にサービスを受ける客数の平均値
  • 平均サービス時間Ts=1/μ
  • 平均到着間隔Ta=1/λ
  • システム利用率ρs=λ/(μm)=λTs/m
  • トラフィック密度=u=λTsとするとρs=u/m
  • m個のサーバが塞がる確立をPm(u)とするとPm(u)を式(1)に示す。
  • トラフィック密度uとポアソン比関数Rm(u)とするとRm(u)を(式2)に示す。
  • 待ち系の平均長さLq=Lw+λ/μ
  • 平均待ち(応答)時間Tq=Tw+Ts
  • 平均待ち行列時間Tw=Pm(u)ts/(m(1-ρs)
  • 待ち行列の長さの平均Lw=ρsPm(u)/(1-ρs)

 

M/M/1モデルとの関係
単一サービス窓口に対してはm=1、P1(u)=ρsであるため、この計算式が単一サービス窓口でも成り立っている事がわかる。
計算式 M/M/1 M/M/m
待ち行列の長さの平均Lw L=ρ/(1-ρ) L=ρsPm(u)/(1-ρs)
平均待ち行列時間TwTw=ρTs/(1-ρ) Tw=Pm(u)ts/(m(1-ρs)

h51602

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